\documentclass{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{eucal}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\pagestyle{fancy}
\begin{document}
\lhead{Diplomka}
\rhead{Matouš Raisigl, raisimat@fel.cvut.cz}

rovnice systému
$$
y=Vx+Su+Dd
$$

Vážení reference systému

\begin{align*}
&(y-ref)^TQ(y-ref)\\
&(Vx+Su+Dd-ref)^TQ(Vx+Su+Dd-ref)\\
&((Vx)^T+(Su)^T+(Dd)^T-ref^T)Q(Vx+Su+Dd-ref)\\
&(x^TV^T+u^TS^T+d^TD^T-ref^T)Q(Vx+Su+Dd-ref)
\end{align*}
Pro jednotilvé členy podle první závorky platí
\begin{align*}
&x^TV^TQVx+x^TV^TQSu+x^TV^TQDd-x^TV^TQref\\
&u^TS^TQVx+u^TS^TQSu+u^TS^TQDd-u^TS^TQref\\
&d^TD^TQVx+d^TD^TQSu+d^TD^TQDd-d^TD^TQref\\
&-ref^TQVx-ref^TQSu-ref^TQDd+ref^TQref
\end{align*}
Kvadratičtí členové
$$
u^TS^TQSu
$$
lineární (po sečtění)
$$
2x^TV^TQSu+2d^TD^TQSu-2ref^TQSu
$$

Vážení vstupu systému

$$
\Delta u^T R\Delta u
$$
platí
$$
\Delta u=D_iu-\tilde{u}
$$

\begin{align*}
&(D_iu-\tilde{u})^TR(D_iu-\tilde{u})\\
&((D_iu)^T-\tilde{u}^T)R(D_iu-\tilde{u})\\
&(u^TD_i^T-\tilde{u}^T)R(D_iu-\tilde{u})
\end{align*}
Pro jednotlivé členy podle první závory platí
\begin{align*}
&u^TD_i^TRD_iu-u^TD_i^TR\tilde{u}\\
&-\tilde{u}^TRD_iu+\tilde{u}^TR\tilde{u}
\end{align*}
Kvadratický člen
$$
u^TD_i^TRD_iu
$$
Lineární člen
$$
-2\tilde{u}RD_iu
$$
\clearpage

Vážení výstupu systému pro dolní omezení
$$
e=e^THe
$$
$$
e=Su+Vx+Dd-w_l-\epsilon_l
$$
\begin{align*}
&(Su+Vx+Dd-w_l-\epsilon_l)^TH(Su+Vx+Dd-w_l-\epsilon_l)\\
&((Su)^T+(Vx)^T+(Dd)^T-w_l-\epsilon_l)H(Su+Vx+Dd-w_l-\epsilon_l)\\
&(u^TS^T+x^TV^T+d^TD^T-w_l^T-\epsilon_l^T)H(Su+Vx+Dd-w_l-\epsilon_l)
\end{align*}
rozepsané jednotlivé členy podle první závorky
\begin{align*}
&u^TS^THSu+u^TS^THVx+u^TS^THDd-u^TS^THw_l-u^TS^TH\epsilon_l\\
&x^TV^THSu+x^TV^THVx+x^TV^THDd-x^TV^THw_l-x^TV^TH\epsilon_l\\
&d^TD^THSu+d^TD^THVx+d^TD^THDd-d^TD^THw_l-d^TD^TH\epsilon_l\\
&-w_l^THSu-w_l^THVx-w_l^THDd+w_l^THw_l+w_l^TH\epsilon_l\\
&-\epsilon_l^THSu-\epsilon_l^THVx-\epsilon_l^THDd+\epsilon_l^THw_l+\epsilon_l^TH\epsilon_l
\end{align*}
Kvadratické členy podle $u$
$$
u^TS^THSu
$$
Linerání členy podle $u$
$$
2x^TV^THSu+2d^TD^THSu-2w_l^THSu
$$
Kvadratické členy podle $\epsilon_l$
$$
\epsilon_l^TH\epsilon_l
$$
Lineární členy podle $\epsilon_l$
$$
-2x^TV^TH\epsilon_l-d^TD^TH\epsilon_l+2w_l^TH\epsilon_l
$$
Křížové členy (uvádím s $u$ v pravo, ale obdobně existuje člen s $u$ nalevo)
$$
-\epsilon_l^THSu
$$

Vážení výstupu systému pro horní omezení
$$
e=e^THe
$$
$$
e=Su+Vx+Dd-w_u+\epsilon_u
$$
\begin{align*}
&(Su+Vx+Dd-w_u+\epsilon_u)^TH(Su+Vx+Dd-w_u+\epsilon_u)\\
&((Su)^T+(Vx)^T+(Dd)^T-w_u+\epsilon_u)H(Su+Vx+Dd-w_u+\epsilon_u)\\
&(u^TS^T+x^TV^T+d^TD^T-w_u^T+\epsilon_u^T)H(Su+Vx+Dd-w_u+\epsilon_u)
\end{align*}
rozepsané jednotlivé členy podle první závorky
\begin{align*}
&u^TS^THSu+u^TS^THVx+u^TS^THDd-u^TS^THw_u+u^TS^TH\epsilon_u\\
&x^TV^THSu+x^TV^THVx+v^TS^THDd-x^TV^THw_u+x^TV^TH\epsilon_u\\
&d^TD^THSu+d^TD^THVx+d^TD^THDd-d^TD^THw_u+d^TD^TH\epsilon_u\\
&-w_u^THSu-w_u^THVx-w_u^THDd+w_u^THw_u-w_u^TH\epsilon_u\\
&\epsilon_u^THSu+\epsilon_u^THVx+\epsilon_u^THDd-\epsilon_u^THw_u+\epsilon_u^TH\epsilon_u
\end{align*}
Kvadratické členy podle $u$
$$
u^TS^THSu
$$
Linerání členy podle $u$
$$
2x^TV^THSu+2d^TD^THSu-2w_u^THSu
$$
Kvadratické členy podle $\epsilon_u$
$$
\epsilon_u^TH\epsilon_u
$$
Lineární členy podle $\epsilon_u$
$$
2x^TV^TH\epsilon_u+2d^TD^TH\epsilon_u-2w_u^TH\epsilon_u
$$
Křížové členy (uvádím s $u$ v pravo, ale obdobně existuje člen s $u$ nalevo)
$$
-\epsilon_u^THSu
$$

Vektor optimalizace MPC
$$
\begin{pmatrix}
u\\
\epsilon_l\\
\epsilon_u
\end{pmatrix}
$$
Matice pro kvadratický člen
$$
\begin{pmatrix}
S^TQS+S^THS+Di^TRD_i&0&-S^TH\\
0&H&-S^TH\\
-HS&-HS&H
\end{pmatrix}
$$
Matice pro lineární člen
$$
\begin{pmatrix}
2x^TV^TQS+2d^TD^TQS-2ref^TQS-2\tilde{u}RD_i+2x^TV^THS-2w_l^THS-2w_u^THS\\
-2x^TV^TH-2d^TD^TH+2w_l^TH\\
2x^TV^TH+2d^TD^TH-2w_u^TH
\end{pmatrix}
$$
\end{document}